ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ И ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ

Определяя поперечную силу и изгибающий момент в различных сечениях балки (смотри рис. 2 из параграфа "Прямой изгиб чистый и поперечный"), мы видим, что их значения изменяются по длине балки в зависимости от вида нагрузок и места их приложения. При расчетах часто бывает важно знать изменение Q и в сечениях по всей длине балки, а этого можно достичь построением эпюр.

Исходя из того, что при поперечном изгибе направление внешних сил перпендикулярно оси балки, а при ее рассечении можно отбросить любую часть - правую или левую, сформулируем следующие правила определения значений и .
Рисунок 1
Рисунок 2

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме значений внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от сечения, при этом силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рис. 1, а), а силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рис. 2, б).

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно той точки оси бруса, через которую проходит сечение, при этом (рис. 1) внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рис. 2, а), а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх,- знак минус (рис. 2, б).

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр и при типовых нагружениях балки.

Балка, защемленная одним концом (консоль) и нагруженная двумя численно равными силами, как показано на рис. 3, а, имеет участки I и II. Применяя метод сечений и используя правило знаков (рис. 1 и 2), находим, что на участке I (рис. 3, б) поперечная сила , т. е. не зависит от х. Следовательно, эпюра на участке I изобразится отрезком прямой, параллельной базовой линии.

Рисунок 3


На участке II (рис. 3, б) поперечная сила
.
Эпюра по всей длине балки изображена на рис. 3, г. Изгибающий момент на участке I (рис. 3, б)
,
т. е. при изменении х от 0 до () значение равномерно увеличивается от 0 до Fa, т. е. .
На участке II (рис. 3, в) значение изгибающего момента
.

Эпюра по всей длине балки изображена на рис. 3, д. Как видим, в поперечных сечениях балки на участке II возникает только один внутренний силовой фактор - изгибающий момент; следовательно, участок II находится в состоянии чистого изгиба.

Эпюры и на рис. 3 иллюстрируют справедливость следствий 2 и 1, сформулированных в параграфе "Прямой изгиб чистый и поперечный": на участке I , причем , a возрастает по линейному закону; на участке II изначение .

Двухопорная балка нагружена между опорами А и В силой F (рис. 4, а).
Рисунок 4

В отличие от предыдущего случая здесь предварительно необходимо определить реакции и опор балки. Из уравнения моментов относительно опоры B находим

, а из уравнения моментов относительно опоры А находим .
Балка имеет два участка. Рассекая балку на участке I и отбрасывая часть балки правее сечения, находим
и .
Таким образом, на участке I поперечная сила постоянна и равна (рис. 4, б), а изгибающий момент при изменении х от 0 до увеличивается от 0 до (рис. 4, в).
Рассекая балку на участке II и отбрасывая часть балки правее сечения, находим:
,
.
Поперечная сила на участке II имеет значение, равное (рис. 4, б). На участке II х изменяется в пределах . Поэтому при x = a изгибающий момент , а при x = а+b ,
т. е. при изменении х от 0 до (а+b) изгибающий момент убывает от до 0 (рис. 4, в).
Эпюры Q и М на рис. 4 иллюстрируют справедливость следствия 2 (см. "Прямой изгиб чистый и поперечный"): равномерно распределенной нагрузки на балке нет (q = 0) и на каждом из обоих участков балки сохраняет постоянное значение, поэтому на том и на другом участке изменяется по линейному закону, но и на участке I возрастает, a ) и на участке II убывает.

Двухопорная балка нагружена между опорами парой сил, момент которой М (рис. 5, а).

Действующую на балку пару сил можно уравновесить только парой. Поэтому реакции опор образуют пару сил (, ) и . Рассекая балку на участке I, а затем на участке II и отбрасывая в обоих случаях правую часть балки, получаем ,
т.е. значение поперечной силы по всей длине балки постоянно (рис. 5, б). Изгибающий момент на участке I и при изменении x от 0 до значение изгибающего момента увеличивается от 0 до .
Изгибающий момент на участке II .
При x = a получим ;
при x = a+b .
Следовательно, при изменении х в пределах значение увеличивается от до 0.
Таким образом, в сечении балки, где приложена пара сил с моментом М, на эпюре возникает скачок от до (рис. 5, в), т. е. на значение момента приложенной пары.
Эпюры на рис. 5 еще раз иллюстрируют справедливость положения, что при изгибающий момент возрастает по линейному закону (см. параграф "Прямой изгиб чистый и поперечный", следствие 2).

Рисунок 5
Рисунок 6

Двухопорная балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q, как
показано на рис. 6, а. Реакции опор A и B этой балки: и . Как и в предыдущих случаях, балка имеет два участка.

На участке I ;
и при изменении х в пределах изгибающий момент увеличивается по линейному закону от в сечении над опорой А до в сечении, проходящем через точку С.

На участке II ;
.
Как видим, на участке II и поперечная сила и изгибающий момент изменяются в зависимости от х. При изменении х в интервале поперечная сила изменяется по линейному закону от в сечении, проведенном через точку C, до в сечении над опорой B, проходя в некотором сечении балки через нулевое значение (рис. 6, б).Положение сечения, где , необходимо определить, так как исходя из дифференциальной зависимости в сечении, где поперечная сила изменяет знак, переходя от к , изгибающий момент достигает максимального значения.

Из уравнения следует, что сечение D, в котором (рис. 6, а, б), отстоит от левой опоры A на расстоянии .
Изгибающий момент, как видно из приведенного выше равенства, есть квадратичная функция от x, поэтому на участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изгибающего момента изображается параболой:
при х = а в сечении С ;
при x = (5/3)a в сечении D

при х = 3а в сечении В (рис. 5, в).

Построение эпюры иллюстрирует справедливость следствия 2 и следствия 3 из параграфа "Прямой изгиб чистый и поперечный", вытекающих из дифференциальных зависимостей между , и q.
Сформулируем основные правила построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов, которые являются как следствиями дифференциальных зависимостей q, Q и , так и вытекают непосредственно из метода сечений.

1. На участке балки без равномерно распределенной нагрузки (q = 0) поперечная сила Q = const и ее эпюра изображается отрезком прямой, параллельным базовой линии, а изгибающий момент изменяется по линейному закону и эпюра изображается наклоненным к базовой линии отрезком прямой.

2. На участке балки, несущем равномерно распределенную нагрузку, поперечная сила Q изменяется по линейному закону и ее эпюра изображается наклонной прямой, а изгибающий момент изменяется по квадратичному закону и его эпюра изображается дугой параболы, выпуклость которой обращена в сторону, противоположную направлению действия нагрузки.

3. Если на участках, указанных в п. 1 и 2, Q > 0, то изгибающий момент возрастает; если Q < 0, то изгибающий момент убывает; если Q = 0, то изгибающий момент постоянен.

4. Если поперечная сила, изменяясь по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент достигает экстремального значения: максимального - при переходе от Q > 0 к Q < 0 и минимального - при переходе от Q < 0 к Q > 0.

5. Если границей участка балки служит точка приложения сосредоточенной силы F, то эпюра Q в этом месте изменяется скачкообразно на значение F, а на эпюре возникает излом, т. е. происходит резкое изменение угла наклона отрезка прямой или дуги параболы.

6. Если границей участка балки служит точка приложения сосредоточенной пары сил, то на эпюре Q это не отражается, а на эпюре возникает скачок, равный значению момента пары.

7. Если границей участка служит начало или окончание действия равномерно распределенной нагрузки, то на эпюре Q возникает излом (переход от параллельного к базовой линии отрезка к наклонному или, наоборот, от наклонного к параллельному), а на эпюре прямолинейный и параболический участки сопрягаются плавно (прямолинейный участок является касательным к дуге параболы в их общей точке).

8. В сечении на свободном или шарнирно опертом конце балки изгибающий момент равен нулю, если в этом месте не приложена сосредоточенная пара сил. Поперечная сила в этом сечении равна внешней сосредоточенной силе.

9. В сечении, совпадающем с заделкой, значения Q и , получившиеся на эпюрах, равны соответственно опорной реакции и реактивному моменту.

При построении эпюр Q и рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1. Найти опорные реакции (для консоли их можно не находить).

2. Разбить брус на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы и пары и начинается или заканчивается распределенная нагрузка. Такие сечения принято называть характерными.

3. Применяя метод сечений, построить эпюру поперечных сил. Если поперечная сила, изменяясь непрерывно, проходит через нулевое значение, то необходимо определить абсциссу сечения, где Q обращается в нуль.

4. Вычислить в характерных сечениях значения изгибающих моментов и по найденным ординатам построить эпюру .

Пример 1. Построить эпюры и для двухопорной балки, нагруженной, как показано на рис. 7, а.

Решение.
1. Определяем реакции опор и . Из уравнения моментов относительно точки находим
.
Из уравнения моментов относительно точки находим
.
Алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на ось, перпендикулярную балке,
; следовательно, реакции опор определены правильно.

2. Разбиваем балку на три участка. Характерными являются сечения А, С, D и В.

3. Так как все участки балки свободны от распределенной нагрузки, то поперечные силы на каждом участке постоянны и эпюра изобразится прямыми, параллельными базовой линии. Применяя метод сечений, определяем значения поперечных сил на каждом участке:
; ; .
По полученным данным строим эпюру (рис. 7, б).

4. Для построения эпюры , применяя метод сечений, вычисляем значения изгибающих моментов в характерных сечениях. При этом каждый раз рассматриваем равновесие левой отсеченной части (можно рассматривать правую часть или ту и другую части поочередно - результаты будут те же):
;

;

;

.
По полученным данным строим эпюру (рис. 7, в).
Рассматривая эпюры , и нагрузку на балку с точки зрения общих правил построения эпюр, обнаруживаем, что построение эпюр не содержит принципиальных ошибок: например, где Q > 0 (участок I), момент возрастает; где Q < 0 (участки II и III), он убывает; в сечении С на эпюре Q имеет место скачок, равный значению приложенной сосредоточенной силы (12 кН), а в эпюре - излом, причем острие излома направлено против силы; в сечении D, где приложена пара сил, на эпюре наблюдается скачок, равный моменту этой пары (8 кН-м), а в эпюре нет никаких изменений.

Рисунок 7
Рисунок 8

Пример 2. Построить эпюры и для двухопорной балки, нагруженной, как показано на рис. 8, а.

Решение.

1. Из уравнения моментов относительно правой опоры находим .
Из уравнения моментов относительно левой опоры находим .
Проверяя по уравнению проекций на вертикальную ось
,
убеждаемся, что реакции опор определены правильно.

2. Разбиваем балку на два участка. Характерными сечениями являются А, С и В.

3. Применяя метод сечений, строим эпюру . Балка по всей длине несет равномерно распределенную нагрузку; следовательно, значение поперечной силы изменяется по линейному закону и ее эпюра изобразится наклонным отрезком прямой со скачком под сосредоточенной нагрузкой F. В сечении правее опоры А (при рассмотрении левой части балки) .
В сечении левее сечения С (при рассмотрении левой части балки)
.
В сечении левее опоры В (при рассмотрении правой части балки) .
Всечении правее сечения С (при рассмотрении правой части балки)
.
По полученным данным строим эпюру (рис. 8, б). Образовавшийся под сечением С в эпюре скачок, равный значению силы F = 10 кН, подтверждает правильность построения эпюры поперечных сил.

4. Строим эпюру (рис. 8, в). Так как на всех участках нагрузка распределенная, то эпюра изгибающих моментов должна иметь вид параболы с выпуклостью навстречу нагрузке и переломом под сечением С, где приложена сосредоточенная сила. При этом на участке I, где , возрастает, а на участке II, где , убывает.

Применяя метод сечений, определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях. В сечении А , в сечении В . В сечении С при рассмотрении левой отсеченной части
. В том же сечении при рассмотрении правой отсеченной части .
Совпадение значений , найденных слева и справа, подтверждает правильность построения эпюры , Таким образом, эпюра для заданной балки изображается восходящей дугой параболы на участке АС и нисходящей дугой другой параболы на участке СВ. При этом =36 kH.