ОСНОВЫ РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК

Напомним, что статически неопределимыми называются системы, для которых реакции связей внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью уравнений равновесия и метода сечений.
На рис. 1, а показана двухопорная статически определимая балка. Все три реакции , , определяются из трех уравнений равновесия плоской системы сил, после чего, применяя метод сечений, легко найти внутренние силовые факторы в любом сечении балки. Добавим еще одну связь (рис. 1, б). В результате этого система стала более прочной и жесткой. Однако теперь из трех уравнений равновесия четыре реакции , , , определить нельзя. Таким образом, балка стала один раз статически неопределимой.
Если заменить шарнирно-неподвижную опору заделкой (рис. 1, в), появится еще одна лишняя связь и система станет дважды статически неопределимой. Для определения пяти реакций по-прежнему есть только три уравнения равновесия.
Для решения статически неопределимых задач дополнительно к уравнениям равновесия необходимо составить уравнения перемещений по числу лишних связей. Методы составления этих уравнений могут быть различными. Наиболее общим и широко применяемым на практике является метод сил. Сущность этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Рисунок 1
Рисунок 2

На рис. 2, а показана балка, один конец которой защемлена другой оперт на шарнирно-подвижную опору. Такая балка является один раз статически неопределимой, поскольку число реакций три, а уравнений равновесия для плоской системы параллельных сил можно составить только два. Для того чтобы превратить данную систему в статически определимую, необходимо устранить лишнюю связь. В качестве лишней связи выбираем шарнирно-подвижную опору. Устранив опору B, получаем статически определимую консольную балку (рис. 2, б). Такую систему принято называть основной.

Нагружаем основную систему заданной силой, а вместо отброшенной опоры прикладываем неизвестную реакцию (рис. 2, в). Лишние реакции принято обозначать X независимо от того, сила это или момент. В результате получаем систему, эквивалентную заданной. В силуэквивалентности полное перемещение точки В основной системы, нагруженной заданной силой F и лишней реакцией по направлению удаленной связи, должно быть равно нулю, так как в точке В исходная балка не имеет прогиба.
Рисунок 3


В соответствии с принципом независимости действия сил перемещения, обусловленные одновременным действием заданных сил и лишней неизвестной, должны быть равны сумме этих перемещений, вычисленных по отдельности и взятых со своими знаками. Перемещение сечения, где приложена лишняя неизвестная , вызванное заданной силой, обозначим (рис. 2, г). Перемещение этого же сечения от силы обозначим (рис. 2, д). При этом перемещение удобно заменить произведением , в котором - перемещение сечения от единичной силы . Тогда уравнение перемещений запишется в виде .


Это уравнение называют каноническим уравнением метода сил, поскольку оно справедливо для любой системы один раз статически неопределимой, а в качестве неизвестной принята сила (или пара сил). Решая уравнение (1) относительно , определяем искомую реакцию. Перемещения и можно найти приемами, описанными в в параграфе "Правило Верещагина".

Пример 1. Проверить прочность заданной балки (рис. 3, а) при , .
Решение. Для проверки прочности надо найти наибольший изгибающий момент (построить эпюру ), а это, в свою очередь, требует определения опорных реакций, которые в данном случае нельзя найти из уравнений равновесия - балка один раз статически неопределима.
Основную систему выбираем, устранив подвижную опору В (рис. 3, б). Основная система с заданной нагрузкой и лишней реакцией составляет эквивалентную систему (рис. 3, в). Для определения коэффициентов, входящих в каноническое уравнение , нагружаем основную систему заданной нагрузкой (рис. 3, г) и строим эпюру (рис. 3, д), затем прикладываем к основной системе единичную силу (рис. 3, е) и строим эпюру (рис. 3, ж). При определении коэффициентов и интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина:
;

.
Решая каноническое уравнение
,
получаем .
Основная система, нагруженная заданными силами и найденной реакцией , показана на рис. 3, з. Строим для нее эпюры и (рис, 3, и, к).
Опасное сечение находится в заделке. Наибольшее напряжение в нем
,
где принято для двутавра № 14 по таблице сортамента. Условие прочности выполнено, поскольку .